// Electronic appendix to "Ranks of elliptic curves over function fields", // by Alan G.B. Lauder. Published in LMS JCM. FpXY:=PolynomialRing(GF(7),2); QT:=PolynomialRing(Rationals()); // List of 1250 pairs [*f,P*] where P is the unitarised L-function of the // elliptic curve Z^2 = f(X,Y) over the function field F_7(Y), where F_7 is the // finite field with 7 elements. Thus P(7T) is the L-function of Z^2 = f(X,Y). ULp7d24:=[ [* X^3 + 5*X*Y^12 + 6*X*Y^11 + 2*X*Y^10 + 3*X*Y^9 + 2*X*Y^8 + 4*X*Y^7 + 3*X*Y^6 + 5*X*Y^5 + 6*X*Y^3 + 4*X*Y^2 + 2*X*Y + 5*X + 3*Y^24 + 4*Y^23 + 5*Y^22 + Y^21 + 2*Y^20 + 3*Y^19 + 5*Y^18 + 2*Y^17 + 5*Y^15 + 4*Y^14 + Y^13 + 4*Y^12 + 6*Y^11 + Y^10 + 2*Y^7 + 3*Y^5 + 5*Y^4 + Y^2 + 2, T^44 - 6/7*T^43 + 6/49*T^42 - 25/343*T^41 - 139/343*T^40 + 104/343*T^39 - 26/343*T^38 + 58/343*T^37 - 29/49*T^36 + 305/343*T^35 - 137/343*T^34 + 82/343*T^33 - 103/343*T^32 - 94/343*T^31 + 95/343*T^30 - 75/343*T^29 - 37/343*T^28 + 8/343*T^27 + 167/343*T^26 - 144/343*T^25 + 171/343*T^24 + 95/343*T^23 - 305/343*T^22 + 95/343*T^21 + 171/343*T^20 - 144/343*T^19 + 167/343*T^18 + 8/343*T^17 - 37/343*T^16 - 75/343*T^15 + 95/343*T^14 - 94/343*T^13 - 103/343*T^12 + 82/343*T^11 - 137/343*T^10 + 305/343*T^9 - 29/49*T^8 + 58/343*T^7 - 26/343*T^6 + 104/343*T^5 - 139/343*T^4 - 25/343*T^3 + 6/49*T^2 - 6/7*T + 1 *], [* X^3 + 4*X*Y^12 + 4*X*Y^11 + 3*X*Y^10 + 4*X*Y^9 + 2*X*Y^8 + 2*X*Y^7 + 3*X*Y^6 + 2*X*Y^5 + 6*X*Y^4 + 2*X*Y^3 + 3*X*Y^2 + X*Y + 5*Y^24 + 4*Y^23 + 5*Y^22 + 5*Y^21 + 6*Y^20 + 4*Y^18 + 6*Y^17 + 6*Y^16 + 2*Y^15 + 4*Y^14 + 3*Y^13 + 4*Y^12 + 3*Y^10 + 3*Y^9 + 2*Y^8 + 3*Y^6 + 6*Y^4 + 4*Y^3 + 4*Y^2 + 3*Y + 4, -T^44 - 2/7*T^43 - 15/49*T^42 + 117/343*T^41 + 211/343*T^40 + 300/343*T^39 + 86/343*T^38 - 165/343*T^37 - 244/343*T^36 - 4/7*T^35 + 20/343*T^34 + 24/49*T^33 + 81/343*T^32 + 109/343*T^31 - 202/343*T^30 - 132/343*T^29 - 54/343*T^28 + 130/343*T^27 + 78/343*T^26 + 137/343*T^25 - 9/343*T^24 - 52/343*T^23 + 52/343*T^21 + 9/343*T^20 - 137/343*T^19 - 78/343*T^18 - 130/343*T^17 + 54/343*T^16 + 132/343*T^15 + 202/343*T^14 - 109/343*T^13 - 81/343*T^12 - 24/49*T^11 - 20/343*T^10 + 4/7*T^9 + 244/343*T^8 + 165/343*T^7 - 86/343*T^6 - 300/343*T^5 - 211/343*T^4 - 117/343*T^3 + 15/49*T^2 + 2/7*T + 1 *], [* X^3 + 2*X*Y^12 + 4*X*Y^11 + 6*X*Y^9 + 2*X*Y^7 + 4*X*Y^6 + 2*X*Y^3 + 4*X*Y^2 + X*Y + 5*X + 4*Y^24 + 3*Y^23 + 3*Y^22 + 6*Y^20 + 4*Y^19 + Y^18 + 6*Y^17 + 4*Y^16 + 5*Y^15 + 2*Y^14 + 5*Y^13 + 2*Y^12 + 4*Y^11 + 3*Y^10 + Y^8 + 2*Y^6 + 4*Y^5 + 2*Y^3 + 4*Y^2 + Y + 4, -T^44 - 6/7*T^43 + T^42 + 365/343*T^41 - 12/343*T^40 - 2/7*T^39 + 223/343*T^38 + 286/343*T^37 - 361/343*T^36 - 667/343*T^35 + 221/343*T^34 + 103/49*T^33 - 116/343*T^32 - 445/343*T^31 + 176/343*T^30 + 466/343*T^29 - 330/343*T^28 - 874/343*T^27 + 121/343*T^26 + 888/343*T^25 + 128/343*T^24 - 93/49*T^23 + 93/49*T^21 - 128/343*T^20 - 888/343*T^19 - 121/343*T^18 + 874/343*T^17 + 330/343*T^16 - 466/343*T^15 - 176/343*T^14 + 445/343*T^13 + 116/343*T^12 - 103/49*T^11 - 221/343*T^10 + 667/343*T^9 + 361/343*T^8 - 286/343*T^7 - 223/343*T^6 + 2/7*T^5 + 12/343*T^4 - 365/343*T^3 - T^2 + 6/7*T + 1 *], [* X^3 + 6*X*Y^12 + X*Y^11 + 4*X*Y^9 + 3*X*Y^8 + 5*X*Y^7 + 2*X*Y^6 + X*Y^5 + 6*X*Y^4 + 6*X*Y^3 + 2*X*Y^2 + 5*X*Y + 2*X + Y^24 + 2*Y^23 + 6*Y^22 + 4*Y^21 + 6*Y^20 + Y^19 + 6*Y^18 + 4*Y^17 + 5*Y^16 + 6*Y^15 + 5*Y^14 + 4*Y^13 + 6*Y^12 + 3*Y^11 + 6*Y^10 + 6*Y^9 + 5*Y^8 + 2*Y^7 + 4*Y^6 + 5*Y^5 + 6*Y^4 + 5*Y^3 + 2*Y^2 + 1, T^44 + 8/7*T^43 + 15/49*T^42 + 78/343*T^41 - 242/343*T^40 - 269/343*T^39 - 13/343*T^38 - 116/343*T^37 + 110/343*T^36 + 6/7*T^35 + 33/343*T^34 + 38/343*T^33 - 100/343*T^32 - 52/49*T^31 - 262/343*T^30 - 193/343*T^29 - 41/343*T^28 + 26/49*T^27 + 215/343*T^26 + 10/49*T^25 - 46/343*T^24 - 2/7*T^23 - 151/343*T^22 - 2/7*T^21 - 46/343*T^20 + 10/49*T^19 + 215/343*T^18 + 26/49*T^17 - 41/343*T^16 - 193/343*T^15 - 262/343*T^14 - 52/49*T^13 - 100/343*T^12 + 38/343*T^11 + 33/343*T^10 + 6/7*T^9 + 110/343*T^8 - 116/343*T^7 - 13/343*T^6 - 269/343*T^5 - 242/343*T^4 + 78/343*T^3 + 15/49*T^2 + 8/7*T + 1 *], [* X^3 + X*Y^12 + 6*X*Y^11 + 5*X*Y^10 + 2*X*Y^9 + 2*X*Y^6 + 4*X*Y^4 + X*Y^3 + 4*X*Y^2 + 3*X*Y + 2*X + 4*Y^24 + 4*Y^22 + Y^21 + 4*Y^20 + 6*Y^19 + 5*Y^18 + 3*Y^16 + Y^14 + 2*Y^13 + 2*Y^12 + Y^11 + Y^10 + 6*Y^9 + Y^8 + 6*Y^6 + 5*Y^5 + 6*Y^4 + Y^3 + 6*Y^2 + 4*Y, T^44 + 3/7*T^43 + 3/49*T^42 + 291/343*T^41 + 60/343*T^40 + 171/343*T^39 + 120/343*T^38 - 111/343*T^37 + 74/343*T^36 + 32/49*T^35 - 9/343*T^34 - 10/343*T^33 - 53/343*T^32 + 10/343*T^31 + 173/343*T^30 - 319/343*T^29 + 17/343*T^28 - 23/343*T^27 - 184/343*T^26 + 73/343*T^25 - 311/343*T^24 - 206/343*T^23 + 4/49*T^22 - 206/343*T^21 - 311/343*T^20 + 73/343*T^19 - 184/343*T^18 - 23/343*T^17 + 17/343*T^16 - 319/343*T^15 + 173/343*T^14 + 10/343*T^13 - 53/343*T^12 - 10/343*T^11 - 9/343*T^10 + 32/49*T^9 + 74/343*T^8 - 111/343*T^7 + 120/343*T^6 + 171/343*T^5 + 60/343*T^4 + 291/343*T^3 + 3/49*T^2 + 3/7*T + 1 *], [* X^3 + 6*X*Y^12 + 3*X*Y^11 + 3*X*Y^10 + X*Y^9 + 4*X*Y^7 + 6*X*Y^6 + 3*X*Y^5 + 2*X*Y^4 + 4*X*Y^3 + 4*X*Y^2 + 5*X*Y + 6*X + 5*Y^24 + Y^23 + 2*Y^22 + 5*Y^21 + 3*Y^20 + 3*Y^19 + 2*Y^18 + Y^17 + 2*Y^16 + 2*Y^15 + 4*Y^14 + Y^13 + 3*Y^12 + Y^10 + Y^9 + 3*Y^8 + 2*Y^7 + 6*Y^6 + 2*Y^5 + 4*Y^4 + Y^3 + Y, -T^44 - 2/7*T^43 + 68/49*T^42 + 146/343*T^41 - 103/343*T^40 + 166/343*T^39 - 57/343*T^38 - 262/343*T^37 - 32/343*T^36 + 89/343*T^35 - 23/343*T^34 - 223/343*T^33 - 57/343*T^32 + 328/343*T^31 + 211/343*T^30 - 11/49*T^29 + 136/343*T^28 + 36/343*T^27 - 307/343*T^26 - 172/343*T^25 - 11/343*T^24 - 64/343*T^23 + 64/343*T^21 + 11/343*T^20 + 172/343*T^19 + 307/343*T^18 - 36/343*T^17 - 136/343*T^16 + 11/49*T^15 - 211/343*T^14 - 328/343*T^13 + 57/343*T^12 + 223/343*T^11 + 23/343*T^10 - 89/343*T^9 + 32/343*T^8 + 262/343*T^7 + 57/343*T^6 - 166/343*T^5 + 103/343*T^4 - 146/343*T^3 - 68/49*T^2 + 2/7*T + 1 *], [* X^3 + X*Y^12 + 5*X*Y^10 + 3*X*Y^9 + 5*X*Y^8 + 2*X*Y^7 + 5*X*Y^5 + X*Y^4 + 2*X*Y^3 + 6*X*Y^2 + 2*X*Y + 4*X + 5*Y^24 + 4*Y^23 + 3*Y^21 + Y^20 + 6*Y^19 + 6*Y^18 + 6*Y^17 + Y^16 + 6*Y^15 + 2*Y^14 + 2*Y^13 + 3*Y^12 + 5*Y^11 + 3*Y^9 + Y^8 + Y^7 + 5*Y^6 + 5*Y^5 + Y^4 + 4*Y^3 + 2*Y^2 + Y + 3, -T^44 - T^43 - 23/49*T^42 - 40/343*T^41 - 8/49*T^40 - 16/49*T^39 + 110/343*T^38 - 53/343*T^37 - 286/343*T^36 - 103/343*T^35 + 170/343*T^34 + 141/343*T^33 - 24/343*T^32 + 111/343*T^31 + 157/343*T^30 - 192/343*T^29 - 366/343*T^28 - 83/343*T^27 + 5/49*T^26 - 36/343*T^25 + 124/343*T^24 + 213/343*T^23 - 213/343*T^21 - 124/343*T^20 + 36/343*T^19 - 5/49*T^18 + 83/343*T^17 + 366/343*T^16 + 192/343*T^15 - 157/343*T^14 - 111/343*T^13 + 24/343*T^12 - 141/343*T^11 - 170/343*T^10 + 103/343*T^9 + 286/343*T^8 + 53/343*T^7 - 110/343*T^6 + 16/49*T^5 + 8/49*T^4 + 40/343*T^3 + 23/49*T^2 + T + 1 *], [* X^3 + 2*X*Y^12 + X*Y^11 + 4*X*Y^10 + 2*X*Y^9 + X*Y^8 + 2*X*Y^7 + 5*X*Y^5 + X*Y^3 + 2*X*Y + X + Y^24 + 6*Y^23 + 2*Y^22 + 2*Y^20 + 6*Y^19 + 6*Y^17 + Y^16 + 4*Y^15 + 4*Y^14 + 5*Y^13 + 6*Y^12 + Y^11 + 3*Y^10 + Y^9 + 5*Y^7 + 6*Y^6 + 4*Y^5 + 5*Y^4 + 2*Y^3 + 4*Y^2 + Y + 6, T^44 - 1/7*T^43 - 3/7*T^42 - 344/343*T^41 - 94/343*T^40 + 18/49*T^39 + 44/49*T^38 + 282/343*T^37 - 29/343*T^36 - 205/343*T^35 - 289/343*T^34 - 152/343*T^33 + 8/49*T^32 + 243/343*T^31 + 205/343*T^30 + 237/343*T^29 - 31/343*T^28 - 239/343*T^27 - 328/343*T^26 - 150/343*T^25 + 4/343*T^24 + 265/343*T^23 + 201/343*T^22 + 265/343*T^21 + 4/343*T^20 - 150/343*T^19 - 328/343*T^18 - 239/343*T^17 - 31/343*T^16 + 237/343*T^15 + 205/343*T^14 + 243/343*T^13 + 8/49*T^12 - 152/343*T^11 - 289/343*T^10 - 205/343*T^9 - 29/343*T^8 + 282/343*T^7 + 44/49*T^6 + 18/49*T^5 - 94/343*T^4 - 344/343*T^3 - 3/7*T^2 - 1/7*T + 1 *], [* X^3 + 6*X*Y^12 + 3*X*Y^10 + 2*X*Y^9 + 6*X*Y^8 + 2*X*Y^6 + 5*X*Y^5 + 4*X*Y^4 + 2*X*Y^3 + 2*X*Y + 5*X + 4*Y^24 + 2*Y^23 + Y^22 + 3*Y^21 + 6*Y^20 + 2*Y^19 + 6*Y^18 + Y^17 + 5*Y^15 + 2*Y^14 + 6*Y^12 + 5*Y^11 + 2*Y^10 + 4*Y^7 + Y^6 + 5*Y^5 + 3*Y^3 + 6*Y^2 + 5*Y + 1, T^44 + 3/7*T^43 - 43/49*T^42 - 111/343*T^41 + 379/343*T^40 + 213/343*T^39 - 327/343*T^38 - 233/343*T^37 + 32/49*T^36 + 194/343*T^35 - 48/343*T^34 - 170/343*T^33 - 190/343*T^32 + 8/343*T^31 + 177/343*T^30 - 20/49*T^29 - 314/343*T^28 + 55/343*T^27 + T^26 + 1/49*T^25 - 54/49*T^24 - 10/343*T^23 + 39/49*T^22 - 10/343*T^21 - 54/49*T^20 + 1/49*T^19 + T^18 + 55/343*T^17 - 314/343*T^16 - 20/49*T^15 + 177/343*T^14 + 8/343*T^13 - 190/343*T^12 - 170/343*T^11 - 48/343*T^10 + 194/343*T^9 + 32/49*T^8 - 233/343*T^7 - 327/343*T^6 + 213/343*T^5 + 379/343*T^4 - 111/343*T^3 - 43/49*T^2 + 3/7*T + 1 *], [* X^3 + 5*X*Y^12 + 4*X*Y^11 + 3*X*Y^10 + 4*X*Y^9 + 5*X*Y^8 + 4*X*Y^7 + 3*X*Y^6 + X*Y^5 + 2*X*Y^4 + 5*X*Y^3 + 2*X*Y^2 + 5*X*Y + 4*Y^24 + 5*Y^23 + 5*Y^22 + 5*Y^21 + 6*Y^18 + 3*Y^16 + 4*Y^15 + 3*Y^14 + 2*Y^13 + 6*Y^12 + 4*Y^11 + 3*Y^10 + 3*Y^9 + 4*Y^7 + 5*Y^6 + Y^5 + 6*Y^3 + 6*Y^2 + 3*Y + 6, -T^44 - 12/7*T^43 - 27/49*T^42 + 61/49*T^41 + 486/343*T^40 + 174/343*T^39 + 167/343*T^38 + 27/49*T^37 - 186/343*T^36 - 407/343*T^35 - 103/343*T^34 + 164/343*T^33 - 82/343*T^32 - 288/343*T^31 + 3/49*T^30 + 305/343*T^29 + 17/49*T^28 - 46/343*T^27 + 146/343*T^26 + 32/49*T^25 - 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2/49*T^34 - 129/343*T^33 - 8/343*T^32 - 100/343*T^31 - 108/343*T^30 - 30/49*T^29 - 1/343*T^28 - 81/343*T^27 - 1/343*T^26 - 73/343*T^25 - 6/343*T^24 - 174/343*T^23 + 174/343*T^21 + 6/343*T^20 + 73/343*T^19 + 1/343*T^18 + 81/343*T^17 + 1/343*T^16 + 30/49*T^15 + 108/343*T^14 + 100/343*T^13 + 8/343*T^12 + 129/343*T^11 + 2/49*T^10 - 111/343*T^9 - 4/7*T^8 - 71/343*T^7 - 239/343*T^6 - 128/343*T^5 + 8/49*T^4 - 148/343*T^3 - 17/49*T^2 + 3/7*T + 1 *], [* X^3 + 2*X*Y^12 + 6*X*Y^11 + 4*X*Y^9 + 6*X*Y^8 + 5*X*Y^7 + 6*X*Y^6 + 3*X*Y^5 + 4*X*Y^4 + 6*X*Y^3 + 3*X*Y^2 + 4*X*Y + 6*X + 5*Y^24 + 5*Y^23 + 4*Y^22 + 2*Y^20 + 6*Y^19 + Y^18 + 6*Y^17 + 3*Y^16 + 5*Y^15 + 3*Y^14 + 2*Y^13 + 4*Y^12 + 6*Y^11 + 4*Y^9 + 4*Y^8 + 3*Y^6 + 4*Y^5 + 5*Y^4 + Y^3 + 6*Y^2 + 3, T^44 - 3/7*T^43 - 4/7*T^42 + 251/343*T^41 - 190/343*T^40 - 228/343*T^39 + 74/343*T^38 - 174/343*T^37 - 106/343*T^36 + 249/343*T^35 - 135/343*T^34 + 75/343*T^33 + 194/343*T^32 + 145/343*T^31 + 46/343*T^30 + 12/343*T^29 + 188/343*T^28 - 22/49*T^27 - 125/343*T^26 + 163/343*T^25 - 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